Riset Operasi 2

Bahan Kuliah (30 Maret dan 1 April 2012)

PROGRAM LINEAR

(LINEAR PROGRAMMING)

A. METODE ALJABAR

I. ARTI DAN KEGUNAAN LINEAR PROGRAMMING

Sebagian besar dari persoalan manajemen berkenaan dengan penggunaan sumberdaya secara efisien atau alokasi sumber-sumber yang terbatas (tenaga kerja terampil, bahan baku, modal) untuk mencapai tujuan yang diinginkan (desired objective). Tujuan tersebut dapat berupa : penerimaan hasil penjualan yang maksimum, penerimaan devisa hasil ekspor non migas harus maksimum, jumlah biaya transport harus minimum dan sebagainya.

Program linear adalah suatu teknik riset operasi untuk memecahkan masalah optimasi (maksimisasi atau minimisasi) dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan dalam upaya mencari penyelesaian yang optimal dengan memperhatikan pembatas-pembatas (kendala-kendala) yang ada.

Perhatikan dalam kondisi praktis dimana pimpinan perusahaan bertujuan untuk mencapai hasil penjualan sebesar mungkin (maximum revenue). Logikanya, pimpinan perusahaan tersebut harus memutuskan untuk memproduksi sebanyak-banyaknya, maka jika semua produknya laku terjual, tentu akan diperoleh jumlah penjualan sebanyak-banyaknya. Namun, keadaan yang terjadi belum tentu semulus harapannya, karena akan dalam pengambilan keputusan akan menghadapi pembatas-pembatas (constraint). Pembatas-pembatas tersebut dapat berupa keterbatasan modal, bahan baku, tenaga kerja dan sebagainya.

Persoalan yang timbul kemudian, bagaimana dapat mencapai hasil (output) dengan memperhatikan masukan (input) yang tersedia

Dua macam fungsi Program Linear: (1). Fungsi Tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah dan (2).  Fungsi Kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

II. PROSES PEMBUATAN MODEL  

1.    Mendifinisikan Masalah. Definisi masalaha harus jelas dan menggambarkan masalah yang sedang dihadapi. Langkah ini penting dan melibatkan manajemen maupun anggota organisasi lainnya.

2.    Memformulasikan Model. Model adalah gambaran abstrak dari masalah yang sedang dihadapi. Ketepatan dalam memformulasikan model sangat ditentukan oleh asumsi yang digunakan. Asumsi harus realistis dan ini merupakan faktor kesulitan dalam membuat model. Komponen utama dalam memformulasikan model adalah : (i). Variabel keputusan (decision variable); (ii). Tujuan (objective) dan (3) Kendala (constraint).

3.    Mengukur Validitas (Model)

4.    Implementasi / Pelaksanaan Keputusan (Decision Making)

Berikut diberikan gambaran tentang bagaimana menyelesaikan kasus soal pada Linear Programming (LP) secara mandiri :

Contoh Soal 1 (Kasus Maksimisasi) :

Sebuah perusahaan memiliki 2 macam persediaan bahan baku I untuk memproduksi barang A maksimum 8 satuan dan bahan baku II maksimum 5 satuan. Untuk 1 unit produk A memerlukan 2 unit bahan baku I dan 1 unit bahan baku II. Sedangkan untuk 1 unit produk B memerlukan 3 unit bahan baku I dan 2 unit bahan baku II. Berdasarkan hasil riset pasar, diketahui bahwa harga jual produk A sebesar RP. 15 ribu dan produk B seharga Rp. 10 ribu.

Berapa produksi barang A dan B agar jumlah hasil penjualan maksimum ?

Cara Pemecahan masalahnya :

1.      Pemecahan masalah akan menggunakan metode aljabar. Kita harus mencari nilai X1 (banyaknya barang A dalam satuan yang akan diproduksi) dan nilai X2 (banyaknya barang B dalam satuan yang akan diproduksi) dari ketidaksamaan diatas, kemudian memasukkan nilai X1 dan X2 dalam fungsi objekktif Z dan kit apilih nilai Z yang terbesar yang memberikan pemecahan optimal.

2.      Untuk mencari nilai X1 dan X2, kita harus mengubah ketidaksamaan menjadi persamaan dengan jelas memasukkan nilai variabel slack (nilai variabel yang ditambahkan agar ketidaksamaan berubah menjadi persamaan), yaitu variabel X3 ≥ 0 dan X4 ≥ 0, sebagai berikut :

2X1 + 3 X2 + X3 = 8

 X1  + 2 X2 + X4 = 5

Ternyata ada 4 variabel yang akan dicari nilainya, akan tetapi hanya tersedia 2 persamaan. Mengingat dua persamaan hanya dapat dipergunakan untuk memecahkan / mencari nilai 2 variabel saja, sehingga 2 variabel lainnya dalam setiap pemecahan nilainya harus nol.

 Variabel slack dapat diartikan sisa bahan mentah. Oleh karena itu

Solusi :

Rumuskan terlebih dahulu Linerar Programming (LP) yang standard (ketidaksamaan diubah menjadi persamaan) sebagai berikut :

Max Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4

Kendala :

1.      2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

2.         X1 + 2 X2 + X4 = 5

3.         X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

Pemecahan Optimal :

(1). Jika nilai X1 = 0 ; dan nilai X2 = 0

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa X3 = 8

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan  X1 + 2 X2 + X4 = 5

       Maka tersisa X4 = 5

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 0) + (10 * 0) + 0 (8) + 0 (5)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 0

(2). Jika X1 = 0 dan X3 = 0

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa 3 X2 = 8 à Nilai X2 = 8/3

       Masukkan nilai X2 = 8/3 pada persamaan  X1 + 2 X2 + X4 = 5

       2 X2 + X4 = 5 -à 2 (8/3) + X 4 = 5 à 16/3 + X4 = 5 à X 4 = 15/3 – 16/3

       Maka tersisa X4 = - 1/3

       Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak layak

(3). Jika X1 = 0 dan X4 = 0

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       Maka tersisa 2 X2 = 5 à Nilai X2 = 5/2

       Masukkan nilai X2 = 5/2 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       2 (0) + 3 (5/2) + X3 = 8à 15/2 + X3 = 8 à X3 = 16/2 – 15/2

       Maka tersisa X3 = 1/2

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 0) + (10 * 5/2) + 0 (1/2) + 0 (0)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 25

(4). Jika X2 = 0 dan X3 = 0

      Masukkan nilai X2 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa 2 X1 = 8 à Nilai X1 = 8/2 = 4

       Masukkan nilai X1 = 4 pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       4 + X4 = 5 -à X4 = 5 – 4 = 1

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 4) + (10 * 0) + 0 (0) + 0 (1)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 60

(5). Jika X2 = 0 dan X4 = 0

      Masukkan nilai X2 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       Maka tersisa X1 = 5

       Masukkan nilai X1 = 5 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       2 (5) + 3 X(0) +  X3 = 8 à 10 + X3 = 8à X 3 = 8 – 10 = -2

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak layak

(6). Jika X3 = 0 dan X4 = 0

      Masukkan nilai X3 = 0  pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa 2 X1 + 3 X2 = 8 à X1 = 1/2 *(8 – 3 X2)

       Masukkan nilai X1 = 1/2 *(8 – 3 X2) pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       1/2 *(8 – 3 X2) + 2 X2 + 0 = 5à 2 X2 = (4 – 3/2 X2) + 2 X2 = 5

       4 – 3/2 X2 + 2 X2 = 5 -à - 3/2 X2 + 2 X2 = 5 – 4

- 3/2 X2 + 2 X2 = 1 à - 3/2 X2 + 4/2 X2 = 1 à ½ X2 = 1 à X2 = 2

       Masukkan nilai X2 pada persamaan X1 = 1/2 *(8 – 3 X2)

       X1 = 1/2 * (8 – 3*2) à X1 = 1/2  * 2 , Maka nilai X1 = 1

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 1) + (10 * 2) + 0 (0) + 0 (1)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 35

Dari 6 pemecahan dasar diatas, dihasilkan 4 yang layak (feasible) yaitu Z1, Z3, Z4 dan Z6 , sedangkan yang tidak layak adalah Z2 dan Z5.

Diantara 4 pemecahan yang layak (feasible), maka ada satu yang terbesar yaitu Z4 sebesar 60 (Keuntungan maksimal) dengan jumlah produk A sebesar 4 unit , sedangka produk B tidak diproduksi dan bahan mentah ke II sisa 1 unit.   

       

Contoh Soal 1 (Kasus Minimisasi) :

Min Z = 8 X1 + 5 X2 + 0 X3 + 0 X4

Kendala :

1.      2 X1 +    X2 ≥ 15

2.      3 X1 + 2 X2 ≥ 10

3.      X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0

Untuk membuat ketidaksamaan menjadi persamaan linear harus dimasukkan variabel surplus yaitu variabel yang harus dikurangkan agar suatu ketidaksamaan menjadi persamaan.

2 X1 +    X2 – X3 =  15

3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

X3 dan X4 adalah variabel surplus, dimana

X3 ≥ 0 ; X4 ≥ 0, c3 = c4 = 0

Pemecahan Masalah :

1. Jika X1 = 0 dan X2 = 0

    Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa X3 = - 15

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    Maka tersisa X4 = - 10

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

2.  Jika  X1 = 0 dan X3 = 0

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa X2 =  15

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    3 (0) + 2 (15) – X4 = 10à 30 – X4 = 10-à 30 – 10 = X4 à  X4 = 20

    Masukan nilai X2 dan X4 pada persamaan Z = 8 X1 + 5 X2 + 0 X3 + 0 X4

    Z = 8 (0) + 5 (15) + 0 (0) + 0 (20)

    Z = 75

3. Jika X1 = 0 dan X4 = 0

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan 3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    Maka tersisa 2 X2 =  10 à X2 = 5

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan  2 X1 +    X2 – X3 =  15

    2 (0) + 5 – X3 = 15

    5 – 15 = X3 à X3 = 10 (Tidak Feasible)

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

4. Jika X2 = 0 dan X3 = 0

    Masukkan nilai X2 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa 2 X1 =  15 à X1 = 7,5

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    Maka tersisa 3 (7,5) + 2 (0) – x4 = 10 -à 22,5 – X4 = 10

    X4 = 12,5

    Masukkan nilai X1 dan X4 dalam persamaan Z = 8 X1 + 5 X2 + 0 X3 + 0 X4

    Z = 8 (7,5) + 5 (0) + 0 (0) + 0 (12,5)

    Z = 60

5. Jika X2 = 0 dan X4 = 0

    Masukkan nilai X2 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa 2 X1 – X3 =  15 à X3 = 2 X1 - 15

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    3 X1 = 10 à X1 = 10/3

    Masukkan nilai X1 pada persamaan X3 = 2 X1 – 15

    X3 = 2 (10/3) – 15 à X3 = 6,67 – 15 à x3 = - 8,33

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

6. Jika X3 = 0 dan X 4 = 0

    Masukkan nilai X3 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa 2 X1 + X2 =  15 à X2 = 15 – 2 X1

     Masukkan nilai X2 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    3 X1 + 2 (15 – 2 X1) = 10

    3 X1 + 30 – 4 X1 = 10 à 3 X1 – 4 X1 = 10 – 30

-          X1 = - 20 -à X1 = 20

   Masukkan nilai X1 pada persamaan X2 = 15 – 2 X1

    X2 = 15 – 2 (- 20)à X2 = - 25

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

Dari 6 pemecahan dasar diatas, dihasilkan 2 yang layak (feasible) yaitu Z2 dan Z4, sedangkan yang tidak layak adalah Z1, Z3, Z5 dan Z6.

Diantara 2 pemecahan yang layak (feasible), maka ada satu yang terkecil yaitu Z4 sebesar 60 (Biaya Minimum) dengan jumlah produk A sebesar 7,5 unit , sedangkan produk B tidak diproduksi dan bahan mentah ke II sisa 12,5 unit.   

 

TUGAS KELAS :

1.      Dikerjakan oleh masing-masing mahasiswa di kelas

2.      Mahasiswa silahkan memilih salah satu saja dari soal (Apakah kasus Maksimisasi atau Minimisasi)

3.      Mohon untuk mengisi daftar hadir

4.      Dikumpulkan kepada Pak Syamsudin (TU FE)

Soal 1. (Kasus Maksimisasi)

Berapa produksi harus dilakukan dengan sumberdaya yang tersedia, sehingg dapat dicapai keuntungan masksimal ? Berikut ini datanya :

Xk  = Jumlah Kursi yang Dibuat

Xm = Jumlah Meja Yang Dibuat

Jika Data pada tabel diatas dirumuskan dalam bentuk fungsi, adalah sebagai berikut :

Fungsi Objective Max Z = 6 Xm + 8 Xk

Kendala :

1.      30 Xm + 20 Xk ≤ 300

2.       5 Xm + 10 Xk ≤ 110

3.         Xm ≥ 0 ; Xk ≥ 0

Soal 2. (Kasus Minimisasi)

Berapa produk A dan B yang dapat dibuat dengan menggunakan campuran input a dan c dan besarnya biaya minimal yang digunakan ? Berikut ini datanya :

 

XA = Jumlah Produk A Yang Dibuat

XB = Jumlah Produk B Yang Dibuat

Jika data pada tabel diatas menjadi bentuk fungsi, adalah sebagai berikut :

Fungsi Objective Min Z = 18 XA + 10 Xb

Kendala :

1.      4 XA + 6 XB     ≥ 48.000

2.      12 XA + 10 XB ≥ 120.000

3.      10 XA + 15 XB ≥ 150.000

Dimana XA ≥ 0 dan XB ≥ 0